@Maciej napisał w Mózg płaski czy krągły:
Zatoczmy na powierzchni okrąg o promieniu r, o środku w punkcie A, gdzie r- jest takim promieniem, że obserwator na powierzchni zlokalizowany w jakimś punkcie tego okręgu (np. B) ma nad głową w zenicie gwiazdę Y.
Wtedy gwiazda X dla obserwatora w B nie jest w zenicie, ale jest odchylona o pewien kąt alfa.
Otóż da się tak wyświetlić niebo każdemu obserwatorowi z tego okręgu (dowolny punkt B) aby kąt alfa był dla każdego tego dowolnego punktu B taki sam.
Oczywistość.
Zgoda.
To patrz teraz.
Robimy tak jak mówisz: zataczamy okrąg o środku w punkcie A i promieniu r. Punkt B to jeden z punktów na tym okręgu. I zgadzam się, że każdy obserwator na tym okręgu będzie widział gwiazdę X odchyloną od zenitu o kąt alfa (który jest kątem między obrazami gwiazd X i Y).
To teraz robimy tak: zataczamy okrąg o środku w punkcie B i promieniu r. Ten okrąg przechodzi przez punkt A i reprezentuje te punkty, w których gwiazda Y jest odchylona o kąt alfa od zenitu. Zgoda?
Te dwa okręgi przecinają się w dwóch punktach, oznaczmy je C i D. Te dwa punkty reprezentują miejsca, w których i gwiazda X, i gwiazda Y są odchylone o kąt alfa od zenitu. Punkt C i punkt D mają w zenicie odpowiednio jakieś gwiazdy Z i W. Można łatwo znaleźć punkty na mapie nieba, w których znajdują się te gwiazdy - wystarczy zatoczyć okręgi odpowiadające odchyłkom o kąt alfa od gwiazd X i Y na sferze niebieskiej i znaleźć ich punkty przecięcia.
I teraz gwóźdź programu: jaka jest odległość kątowa między gwiazdami Z i W, a jaka jest odległość na powierzchni Ziemi między punktami C i D?
Jeśli Ziemia jest płaska, to punkty C i D są odległe o r * √3 (łatwo to zobaczyć: trójkąty ABC i ABD są równoboczne).
Ale kąt między gwiazdami Z i W to już nie będzie alfa * √3! To będzie trochę więcej. I różnica będzie tym większa, im większy jest kąt alfa. Na przykład, gdyby kąt alfa był 90°, to gwiazdy Z i W byłyby odległe o 180° - 2 razy więcej, zamiast ok. 1,732.
EDIT: Dokładnie, to ten kąt będzie wynosił $2 \arccos \left( \frac{\cos \alpha}{\cos \frac{\alpha}{2}} \right)$.
Stosunek odległości między punktami C i D do odległości kątowej między gwiazdami Z i W będzie inny, niż stosunek odległości między punktami A i B do odległości kątowej między gwiazdami X i Y. A astronawigacja dość mocno korzysta z faktu, że ten stosunek jest zawsze taki sam.
O tym właśnie mówię, kiedy mówię, że na płaskiej powierzchni nie da się zachować proporcjonalności odległości do kątów.
Morał: powierzchnia Ziemi nie może być płaska.
