Niektórzy płaskoziemcy próbują tłumaczyć zjawiska takie jak opadanie horyzontu czy znikanie obiektów za horyzontem (w tym wschody i zachody Słońca i Księżyca) refrakcją - która, by pasować do obserwacji, musiałaby zakrzywiać światło w atmosferze w górę.
Przyjrzyjmy się więc jak to jest z tą refrakcją.
Podstawowym prawem rządzącym refrakcją jest tzw. zasada Fermata. Zasada ta mówi tyle, że światło porusza się po torach minimalizujących tzw. "drogę optyczną":
$$ \delta \int n ds = 0 $$
Droga optyczna to po prostu fizyczna odległość w przestrzeni przemnożona przez współczynnik załamania ośrodka wypełniającego tę przestrzeń (czyli dla drogi $ds$, droga optyczna to $n ds$).
Kiedy współczynnik załamania ośrodka jest stały, nic ciekawego się nie dzieje. To, co nazywamy refrakcją, zaczyna się, gdy współczynnik załamania zmienia się od punktu do punktu - matematycznie mówiąc, gdy $n$ jest pewną funkcją położenia w przestrzeni $n(\vec{x})$.
Korzystając z zasady Fermata, można uzyskać nieco konkretniejsze równania na kształt torów promieni. Przyjmijmy, że promień światła jest pewną krzywą sparametryzowaną zmienną $t$ - tj., że współrzędne punktów na tej krzywej są dane jako pewna funkcja $\vec{x}(t)$. Wtedy $\vec{v} = \frac{d\vec{x}}{dt}$ będzie wektorem stycznym do tej krzywej. Załóżmy, że parametr $t$ jest dobrany tak, że wektor $v$ jest wektorem jednostkowym. Wtedy z zasady Fermata można otrzymać równanie (daruję już sobie wyprowadzenie, chyba że ktoś będzie zainteresowany):
$$ n \frac{d\vec{v}}{dt} = \vec{\nabla} n - (\vec{v} \cdot \vec{\nabla} n)\vec{v} $$
To równanie znaczy tyle, że wektor styczny do krzywej - a zatem i sama krzywa - skręca w stronę, w którą skierowany jest gradient współczynnika załamania ($\vec{\nabla}n$). Wektor gradientu funkcji jest z kolei skierowany w stronę, w którą wartość funkcji rośnie.
Powstaje zatem pytanie - w którą stronę rośnie współczynnik załamania w atmosferze?
Współczynnik załamania powietrza w danych warunkach można obliczyć korzystając np. z równania Ciddora albo równania Edlena.
Weźmy dla przykładu równanie Edlena. Dla suchego powietrza (wilgotność = 0) równanie to jest postaci:
$$ n = 1 + \alpha \frac{p}{T} \left( 1 + \beta p + \gamma p T \right) $$
gdzie $\alpha$, $\beta$ oraz $\gamma$ są pewnymi współczynnikami zależnymi tylko od długości fali światła.
W tym miejscu krótka dygresja odnośnie gazu doskonałego. Gaz doskonały - którym powietrze jest w niezłym przybliżeniu - podlega równaniu stanu $pV = nRT$. Przekształcając to równanie, otrzymamy:
$$ \frac{p}{T} = \frac{nR}{V} $$
$n$ w tym przypadku oznacza liczbę moli gazu, nie współczynnik załamania jak wcześniej. Liczbę moli można wyrazić jako iloraz masy gazu i masy molowej (tj. masy jednego mola gazu):
$$ n = \frac{m}{\mu} $$
Z kolei iloraz masy i objętości $\frac{m}{V} $ to nic innego jak gęstość. Ostatecznie otrzymujemy:
$$ \frac{p}{T} = \frac{\varrho R}{\mu} $$
Możemy więc zapisać równanie Edlena jako:
$$ n = 1 + \alpha \frac{R}{\mu} \varrho \left( 1 + \beta p + \gamma p T \right) $$
Oznaczmy:
$$ \alpha' = \alpha \frac{R}{\mu} $$
Wtedy równanie można zapisać jako:
$$ n = 1 + \alpha' \varrho \left( 1 + \beta p + \gamma p T \right) $$
Żeby podać konkretne wartości liczbowe, dla długości fali 530 nm (światło zielone) możemy je zapisać np. tak:
$$ n = 1 + 0.000278121 \frac{\varrho}{\varrho_0} \left( 1 + 0.0033 \frac{p}{p_0} - 0.00284 \frac{p}{p_0} \frac{T}{T_0} \right) $$
gdzie $p_0 = 101325 \; \textrm{Pa}$, $T_0 = 288.15 \; K = 15° C$, $\varrho_0 = \frac{\mu p_0}{R T_0}$.
Często jako nieco bardziej zgrubne przybliżenie zakłada się, że współczynnik załamania zależy tylko od gęstości:
$$ n = 1 + \alpha'' \frac{\varrho}{\varrho_0} $$
co sprowadza się do przyjęcia, że nawias w prawej części równania jest stały. W naszym przypadku dla $p = p_0$ i $T = T_0$ wartość tego nawiasu to $1,00046$ i jeśli przyjmiemy że ta wartość jest stała, dostaniemy $\alpha'' = 0,000278249$.
Jeśli z tak przybliżonego równania obliczymy gradient współczynnika załamania, otrzymamy:
$$ \vec{\nabla}n = \frac{\alpha''}{\varrho_0} \vec{\nabla} \varrho $$
czyli będzie on skierowany w tę stronę, co gradient gęstości. Gęstość powietrza typowo spada z wysokością - jeśli nie spada, tj. gęstsze powietrze jest wyżej, mamy do czynienia z sytuacją niestabilną, w której powietrze gęstsze będzie opadać, a rzadsze unosić się, dotąd aż znowu gęstsze powietrze znajdzie się na dole. Wobec tego, ugięcie promieni typowo będzie zachodziło również w dół.
Można również pokusić się o obliczenie gradientu temperatury potrzebnego do a) ugięcia promieni w górę, b) ugięcia promieni w górę takiego, żeby odwzorowało krzywiznę Ziemi, tj. zamiast prostych promieni i Ziemi o promieniu 6371 km mielibyśmy prostą (płaską) Ziemię i promienie o promieniu krzywizny 6371 km.
W tym celu zróbmy już założenie, że zmienność gęstości, ciśnienia i temperatury powietrza jest tylko w pionie, tj. zamiast gradientu $\vec{\nabla}$ będziemy mieć pochodne po wysokości $\frac{d}{dh}$.
Zauważmy jeszcze jedno: ponieważ gęstość wyraża się przez ciśnienie i temperaturę, możemy gradient gęstości wyrazić przez gradienty ciśnienia i temperatury:
$$ \varrho = \frac{\mu p}{RT} $$
$$ \frac{d \varrho}{dh} = \frac{\mu}{RT} \frac{dp}{dh} - \frac{\mu p}{RT^2} \frac{dT}{dh} $$
Ugięcie promieni w górę nastąpi, gdy $\frac{dn}{dh} > 0$, tj. gdy $\frac{d\varrho}{dh} > 0$. Mamy więc warunek:
$$ 0 < \frac{\mu}{RT} \frac{dp}{dh} - \frac{\mu p}{RT^2} \frac{dT}{dh}$$
Z warunku równowagi hydrostatycznej mamy:
$$\frac{dp}{dh} = -\varrho g = -\frac{\mu g p}{RT}$$
Zatem warunek na ugięcie w górę to:
$$ 0 < -\frac{\mu^2 g p}{R^2 T^2} - \frac{\mu p}{RT^2} \frac{dT}{dh}$$
Stąd:
$$\frac{dT}{dh} < -\frac{\mu g}{R}$$
Podstawiając $\mu = 0,02897 \frac{kg}{mol}$, $R = 8,31 \frac{J}{mol \cdot K}$, $g = 9,81 \frac{m}{s^2}$ otrzymujemy $\frac{dT}{dh} < -0,0342 \frac{K}{m}$, czyli temperatura musiałaby spadać szybciej niż o 34,2 K/km (34,2°C/km).
Żeby znaleźć gradient potrzebny do uzyskania odpowiedniej krzywizny promieni, potrzebujemy wiedzieć jak obliczyć promień krzywizny promienia światła. To możemy otrzymać z równania:
$$ n \frac{d\vec{v}}{dt} = \vec{\nabla} n - (\vec{v} \cdot \vec{\nabla} n)\vec{v} $$
Otóż gdy $\vec{v}$ jest wektorem jednostkowym, wartość wektora $\frac{d\vec{v}}{dt}$ jest równa dokładnie odwrotności promienia krzywizny $\frac{1}{r}$ (dowód pozostawiam Czytelnikowi 
).
Możemy też przyjąć założenie, że rozważamy promienie w przybliżeniu poziome, tj. $\vec{v} \cdot \vec{\nabla} n \approx 0$. Wtedy mamy:
$$\frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{1}{n} \vec{\nabla} n$$
$$\frac{1}{r} = \left\| \frac{d\vec{v}}{dt} \right\| = \frac{1}{n} \frac{dn}{dh}$$
Stąd mamy warunek:
$$\frac{dn}{dh} = \frac{n}{r}$$
Podstawiając $n = 1 + \alpha'' \frac{\varrho}{\varrho_0}$, otrzymujemy:
$$ \frac{\alpha''}{\varrho_0} \frac{d\varrho}{dh} = \frac{\varrho_0 + \alpha'' \varrho}{r \varrho_0}$$
Podstawmy wyliczone wcześniej $\frac{d\varrho}{dh}$:
$$ \frac{\alpha''}{\varrho_0} \left( -\frac{\mu\varrho g}{RT} - \frac{\mu p}{RT^2} \frac{dT}{dh}\right) = \frac{\varrho_0 + \alpha'' \varrho}{r \varrho_0} $$
Obliczmy promień w "standardowych" warunkach wybranych wcześniej, tj. gdy $p = p_0$, $T = T_0$, $\varrho = \varrho_0$:
$$ \alpha'' \left( -\frac{\mu g}{R T_0} - \frac{1}{T_0} \frac{dT}{dh} \right) = \frac{1 + \alpha''}{r} $$
Przekształcając, otrzymujemy:
$$ \frac{dT}{dh} = -\frac{T_0}{\alpha''} \frac{1+\alpha''}{r} - \frac{\mu g}{R} $$
Podstawiając wartości podane wcześniej, dostajemy:
$$\frac{dT}{dh} = -0,1968 \frac{K}{m}$$
...co odpowiada spadkowi temperatury w tempie 196,8°C/km. Raczej z takimi gradientami temperatury w rzeczywistości nie mamy do czynienia
Podsumowanie
Jeśli dotarłeś/-aś aż tutaj, gratulacje - raczej nie spodziewam się, że dużo osób przeczyta cały ten post 
Matematyka tego zagadnienia może być trochę ciężka dla osób bez doświadczenia w naukach ścisłych.
W każdym razie, wnioski są dość proste:
- nie ma szans żeby promienie światła typowo zakrzywiały się w górę w atmosferze
- prawa fizyki które nie mają nic wspólnego z kształtem Ziemi, takie jak zasada Fermata czy równowaga hydrostatyczna, wymuszają zakrzywianie promieni w dół
- zakrzywianie w górę może się zdarzać w cienkich, niestabilnych warstwach, ale ponieważ te warstwy są niestabilne, nie może to być typowe zjawisko.
Utrzymanie twierdzenia o zakrzywianiu promieni w górę wymagałoby napisania na nowo całej optyki.
