@Maciej napisał w Nierównoliczność liczb rzeczywistych i naturalnych:
Czy jak będziesz kiedyś uczył swoje dzieci, to też będziesz się upierał wobec nich (i tak je uczył), że "powyższe przyporządkowanie jest funkcją"?
Powyższe to jest co najwyżej obrazek.
Ale owszem, coś przyporządkowujące liczbie 1 zbiór {2, 3} jak najbardziej może być funkcją.
To jest zresztą dość ważne.
Załóżmy że mamy zbiory A = {1, 2, 3} i B = {a, b, c}. I mamy funkcję f: A → B taką, że:
f(1) = a
f(2) = b
f(3) = c
I to jest dobrze zdefiniowana funkcja. Niezależnie od tego czym są a
, b
i c
. To mogą być jakieś liczby. Ale mogą to też być zbiory. Może zachodzić choćby a = N
, b = Q
, c = R
. Nieistotne. Mamy dobrze określoną funkcję i możemy dalej coś z nią robić.
@Maciej napisał w Nierównoliczność liczb rzeczywistych i naturalnych:
Jeżeli elementowi zbioru A przyporządkujemy dwuelementowy podzbiór zbioru A, to takie przyporządkowanie nie jest funkcją.
No i nie masz racji.
W konstrukcji von Neumanna, liczba 2 jest zbiorem: 2 = {∅, {∅}}
. W tym momencie, zgodnie z Twoim obłędem, żadna funkcja nie może dla żadnej wartości argumentu przyjąć wartości 2, bo nie będzie funkcją, bo 2 jest zbiorem 2-elementowym.
@Maciej napisał w Nierównoliczność liczb rzeczywistych i naturalnych:
Element (tu zbioru A) traktujesz jako element oraz dwuelementowy podzbiór zbioru A- też traktujesz jako "element".
Tu trochę wygląda jakbyś uważał, że "element" to jest jakiś typ obiektu matematycznego.
No nie. "Być elementem" to jest relacja dwuargumentowa (oznaczana ∈). Coś może być elementem czegoś, co najwyżej. Nie można "być elementem", kropka.
1 jest elementem A. {2, 3} jest elementem P(A) i podzbiorem A. {2, 3} nie jest elementem A, chociaż 2 jest elementem A, i 3 jest elementem A.
@Maciej napisał w Nierównoliczność liczb rzeczywistych i naturalnych:
Mamy elementy.
...które w czystej teorii mnogości też są zbiorami. Bo dosłownie jedyne dwie rzeczy jakie masz dostępne w teorii mnogości to zbiory i relacja należenia (bycia elementem czegoś). Z tego można skonstruować dużo, w tym arytmetykę liczb naturalnych, ale w takiej konstrukcji wszystko jest zbiorem.
@Maciej napisał w Nierównoliczność liczb rzeczywistych i naturalnych:
Zbiór nie może być "elementem zbioru".
Oczywiście, że może być.
a ∈ {a, b, c}
To jest prawdą. Zawsze. I a
może być czymkolwiek, w tym: zbiorem.
@Maciej napisał w Nierównoliczność liczb rzeczywistych i naturalnych:
Jeżeli zbiorowi uczniów pierwszej klasy przyporządkowałeś "1" => każdemu uczniowi pierwszej klasy przyporządkowałeś "1".
[Kowalski- 1 (pierwsza klasa), Nowak- 1 (pierwsza klasa)...itd]
I to nie jest funkcja.
Co?
Czyli nagle f: R → R, f(x) = 1, nie jest funkcją?
Bo ja bym się kłócił, że jest. Tzw. funkcją stałą.
@Maciej napisał w Nierównoliczność liczb rzeczywistych i naturalnych:
Ale taraz uważaj:
Jeżeli program np. testuje "a co też jest w kolekcji? czy jest tam Fizyk? czy go nie ma?" => "kolekcji" właśnie nie traktuje się jako pojedynczego elementu!
Czasem się traktuje. Na przykład, jeśli ma się kolekcję kolekcji. W języku Rust np. BTreeSet<BTreeSet<u32>>
- zbiór zbiorów 32-bitowych liczb całkowitych bez znaku (tu przykład).
I możesz taką kolekcję zapytać, czy jakiś zbiór jest jej elementem.
Możesz też iterować po jej elementach, otrzymywać zbiory i potem iterować sobie po tych zbiorach.
Oczywistość dla kogoś, kto nie zrobił sobie sieczki z mózgu.