Nierównoliczność liczb rzeczywistych i naturalnych

[Fizyk od czapy]

Zrobił się z tego podtemat w śmietniku, ale sam temat jest ciekawy, więc stwierdziłem, że stworzę właściwy wątek o tej kwestii.

@Maciej nie lubi dowodu Cantora na nierównoliczność zbiorów liczb naturalnych i rzeczywistych - ale to nic. Można tę nierównoliczność udowodnić inaczej.

Przypomnijmy: zbiory A i B są równoliczne jeśli istnieje bijekcja między tymi zbiorami. Bijekcja natomiast jest to funkcja, która każdemu elementowi zbioru A przyporządkowuje inny element zbioru B, i każdy element zbioru B jest przyporządkowany do jakiegoś elementu zbioru A. Innymi słowy, zbiory są równoliczne, jeśli ich elementy możemy "połączyć w pary". W jakie pary, to nieistotne - ważne, że da się połączyć w jakieś pary.

Na przykład, zbiory {1, 2} i {3, 4} możemy połączyć w pary: np. (1,3) i (2,4). Albo (1,4) i (2,3). Nieistotne. Bijekcja istnieje, więc zbiory są równoliczne.

Ale zbiorów {1, 2} i {3, 4, 5} połączyć w pary się nie da. Nieważne jakie liczby ze zbioru {3, 4, 5} przyporządkujemy liczbom 1 i 2, zawsze jakaś zostanie "luzem". Bijekcja nie istnieje, zbiory nie są równoliczne.

Dla zbiorów nieskończonych też to działa. Na przykład, zbiory liczb naturalnych i całkowitych są równoliczne. "Ale jak to", można spytać, "przecież liczby naturalne są zawarte w liczbach całkowitych, więc jak każdej liczbie naturalnej przyporządkujemy jej odpowiednik w liczbach całkowitych, to zostaną wszystkie liczby ujemne?". Tak - w takim przypadku zostaną, więc takie przyporządkowanie nie jest bijekcją. Ale pytanie brzmi czy bijekcja istnieje, a nie czy każde przyporządkowanie jest bijekcją. A bijekcja istnieje, na przykład taka:

Każdej liczbie naturalnej n przyporządkowujemy: jeśli n jest parzyste, liczbę n/2, a jeśli jest nieparzyste, liczbę -(n+1)/2. Czyli wygląda to jakoś tak:
0 → 0
1 → -1
2 → 1
3 → -2
4 → 2
...

Każdej liczbie naturalnej jest przyporządkowana jakaś liczba całkowita, i nie ma dwóch którym byłaby przyporządkowana ta sama. I na odwrót, każda liczba całkowita jest przyporządkowana jakiejś liczbie naturalnej. Weźmy liczbę całkowitą z. Jeśli jest to liczba ujemna, jest ona przyporządkowana liczbie naturalnej -2z - 1. Jeśli jest dodatnia, jest przyporządkowana liczbie 2z. Wszystko się zgadza. Bijekcja istnieje. Zbiory są równoliczne.

Podobnie można udowodnić również równoliczność zbiorów liczb naturalnych i liczb wymiernych. A co z liczbami rzeczywistymi?

Cantor udowodnił, że dla liczb naturalnych i liczb rzeczywistych nie da się stworzyć bijekcji. Zatem, choć oba te zbiory liczb są nieskończone, nie są one tak samo nieskończone. Jego dowód jest dość znany i można go sobie wygooglać. Tutaj przedstawię inny dowód, na który nie da się przenieść zastrzeżeń Macieja odnośnie dowodu Cantora.

Zacznijmy od definicji: zbiorem potęgowym zbioru X, oznaczanym 2^X albo P(X), nazywamy zbiór wszystkich podzbiorów zbioru X.

Czyli na przykład: jeśli X = {1, 2}, to zbiór P(X) = { ∅, {1}, {2}, {1, 2} }. Każdy możliwy podzbiór X jest elementem zbioru P(X).

Co więcej, dla zbiorów skończonych zachodzi fakt, że jeśli zbiór X ma n elementów, to zbiór P(X) ma 2^n elementów (stąd też częsta notacja 2^X). Czemu? Dość łatwo to zobaczyć: każdy podzbiór X możemy zdefiniować przyporządkowując elementom X 1 jeśli należą do tego podzbioru i 0 jeśli nie należą. Ponieważ dla każdego elementu mamy dwie możliwości, ogólnie możemy podzbiór zdefiniować na 2^n możliwości.

Ze zbiorami nieskończonymi jest nieco trudniej, bo nie ma za bardzo czegoś takiego jak 2^nieskończoność. Ale istnieje ciekawe twierdzenie:

Żaden zbiór X nie jest równoliczny ze swoim zbiorem potęgowym P(X).

(Nawiasem mówiąc, to twierdzenie jest znane jako... twierdzenie Cantora.)

Jak to udowodnić? Najłatwiej nie wprost.

Załóżmy, że zbiory X i P(X) są równoliczne. To znaczy, że istnieje jakaś bijekcja ze zbioru X w zbiór P(X). Nazwijmy tę bijekcję f. To oznacza, że każdemu elementowi x zbioru X przyporządkowany jest obiekt f(x), który jest zbiorem - i do tego podzbiorem zbioru X.

Możemy zatem sensownie spytać, czy jakiś element x zbioru X jest również elementem f(x)? Czasem odpowiedź będzie "tak", czasem "nie". Zdefiniujmy zatem zbiór A:

A = { x ∈ X: x ∉ f(x) }

Jest to zbiór tych i tylko tych elementów zbioru X, które nie należą do podzbiorów X przyporządkowanych im przez bijekcję f.

Ale właśnie - f miało być bijekcją, a zbiór A zawiera wyłącznie elementy zbioru X, więc jest jakimś podzbiorem X. Czyli musi istnieć jakiś element zbioru X - nazwijmy go a - któremu f przyporządkowuje zbiór A:

f(a) = A

To teraz pytanie - czy a należy do zbioru A?

Jeśli należy - to należy do podzbioru, który przyporządkowuje mu funkcja f, czyli zgodnie z definicją zbioru A, nie należy do zbioru A.
A jeśli nie należy, to z definicji zbioru A, należy do zbioru A.

Czyli jeśli a należy do zbioru A, to do niego nie należy, a jeśli do niego nie należy, to do niego należy.

Sprzeczność. I ta sprzeczność wynika z tego, że założyliśmy istnienie bijekcji f. Czyli taka bijekcja istnieć nie może. Zbiory X i P(X) nie są równoliczne. ∎

Fajnie, ale co to ma do tematu?

1. Nie zakładaliśmy nic o zbiorze X. Dowód działa tak samo dla zbiorów skończonych, jak i nieskończonych. Czyli na dzień dobry, zbiór liczb naturalnych nie jest równoliczny ze zbiorem podzbiorów liczb naturalnych. Już mamy dwa nieskończone zbiory, które nie są równoliczne. Co na to @Maciej ?
2. Zbiór P(N) jest równoliczny ze zbiorem liczb rzeczywistych. Przykładową konstrukcję bijekcji między podzbiorami liczb naturalnych a liczbami rzeczywistymi można znaleźć tutaj: https://math.stackexchange.com/questions/1645130/explicit-bijection-between-mathbbr-and-mathcalp-mathbbn

W związku z powyższym, mamy alternatywny dowód, że zbiór liczb naturalnych nie jest równoliczny ze zbiorem liczb rzeczywistych.

No to teraz powodzenia, @Maciej . Szukaj dziury w całym.

[Maciej]

@Fizyk-od-czapy

W podziękowaniu Matce Bożej !

Rozumowanie Cantora w tzw. „dowodzie twierdzenia Cantora” jest fałszywe.

https://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_Cantora

Po kolei, od rzeczy elementarnych, najprostszych i na przykładzie („na obrazkach”)

Oto przykładowy zbiór A zawierający trzy elementy A= {1,2,3} oraz jego tzw. „zbiór potęgowy” P(A)

“Zbiór zbiorów”, czyli np. tzw „zbiór potęgowy” jest pomysłem wewnętrznie sprzecznym.
Istotą zbioru jest to, że zawiera on elementy. Element zaś jest czymś jednym, jest jak punkt.
Punkt nie zawiera zaś w sobie już niczego. Punkt nie ma części.

Ale zostawmy to na razie na boku. Nie to bowiem jest istotą błędu, który popełnił Cantor w owym „dowodzie”.

Ale co to jest tzw. „zbiór potęgowy zbioru A”, czyli „zbiór wszystkich podzbiorów zbioru A”?

Jeśli pominąć inny absurdalny twór zwany „zbiorem pustym” lub nawet nie pomijając go, to „zbiór potęgowy zbioru A”, gdy rozpatrywany jako suma zbiorów (wszak zawiera on zbiory! => istnieje suma tych zbiorów) jest po prostu zbiorem A.

Patrz:

Wszystko (określanie podzbiorów) odbywa się w obrębie zbioru A. Tu zakreślono przykładowe podzbiory zbioru A

Czyli „zbiór potęgowy zbioru” rozpatrywany jako suma jego elementów (a może tak być rozpatrywany, bo wszak „zawiera zbiory” lub jak to twierdzą „jego elementami są zbiory”) jest tym samym zbiorem!

Ciekawe, nieprawdaż?

[Tzw. „zbiór pusty” jest pomysłem wewnętrznie sprzecznym. Z co najmniej dwóch powodów. Po pierwsze zbiór ze swej istoty jest to obiekt, który coś zawiera, coś „zbiera”. Jeśli niczego nie zbiera- to nie jest zbiorem. Po drugie: Nie ma czegoś takiego jak „nic”. Jeżeli „coś” istnieje, to zawsze jest czymś. Nie można zatem „zawierać tego co nie istnieje”. Bo zawierać można tylko to co istnieje. Ale i tę kwestę zostawmy na boku, jako dygresję. Bo nie to jest głównym błędem, który popełnił Cantor. Czynię jednak tę dygresję po to aby pokazać jak z gruntu absurdalną konstrukcją myślową jest współczesna „teoria mnogości”. Jak skażone są już same jej fundamenty, najprostsze pojęcia]

To teraz wreszcie powoli zaczniemy przechodzić do istoty błędu Cantora. Będę już rozważał sam ów „dowód”

https://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_Cantora
W owym „dowodzie” Cantor rozważa „funkcję”, czyli pewne przyporządkowanie elementów (przykładowego) zbioru A elementom tzw. „zbioru potęgowego” P(A).

Oto przykładowe przyporządkowanie:

Przykładowo : Elementowi 1 zbioru A przyporządkowano “element zbioru potęgowego P(A)” f(1)= {2,3}, Czyli zbiór {2,3}.
Ale ten zbiór f(1) jest (z definicji P(A) podzbiorem zbioru A => zawiera się w zbiorze A.

Zatem właściwe spojrzenie jest takie:

Bo wszystko rozgrywa się w zbiorze A.

Lub inaczej:

To jest jedno i to samo przyporządkowanie.
Zbiór f(1)= {2,3} jest tym czym jest, czyli (z definicji P(A)) podzbiorem zbioru A.
Ta uwaga jest o tyle ważna, że rysowanie „zbioru potęgowego” obok zbioru A wprowadza pewne rozdwojenie w rozumie i niemal na pewno przyczynia się do popełniania takich błędów jakie popełniał Cantor.
To, że zbiór f(1) jest „narysowany poza zbiorem A” nie zmienia faktu, że nadal pozostaje on tym czym jest, czyli podzbiorem zbioru A [Pewnik tożsamości: A jest tożsame z A].

Otóż teraz jeśli kto ma rozum, a ma zdrowy, to po przyjrzeniu się ww obrazkom już powinien widzieć błąd Cantora!
Patrz jeszcze raz:

Nie widać?

Przecież już widać!

Jeśli nadal nie widać, a stawiam na to, że czytelnik może jeszcze nie widzieć (wszak poważni matematycy nabierają się na to już ponad 100 lat- najtrudniej zauważyć najprostsze błędy logiczne!) to wyjaśniam po kolei, cytując „dowód” Cantora (za wikipedią):

"Niech f: A w P(A) będzie dowolną funkcją…."

Ale funkcja jest to przyporządkowanie każdemu elementowi zbioru dokładnie jednego elementu zbioru (innego lub tego samego).

Przyporządkowanie elementowi zbioru A jakiegoś podzbioru zbioru A nie jest funkcją.
Z definicji funkcji to wynika.

„Ale zaraz, zaraz” ktoś powie i doda „ale f(1) jest elementem zbioru P(A)”

Ok jest „elementem P(A)”, ale jest także zbiorem i to podzbiorem A: patrz definicja „zbioru potęgowego” {Samiście sobie tak zdefiniowali, to macie!}
Z tego, że „jest elementem P(A)” nie wynika, że „przestaje być tym czym jest”, czyli podzbiorem zbioru A.

Rzecz jest tym czym jest. A jest tożsame z A=> f(1) jest tożsame z f(1). Skoro f(1) jest „elementem P(A) i jest zbiorem (podzbiorem A)" => jest (także) zbiorem.

Zresztą dalej w „dowodzie” Cantora stoi

B={x należy do A: x nie należy do f(x)}

Definiuje zbiór B.

Element nie może należeć do elementu. Element może należeć do zbioru, w szczególności tu na przykładzie do f(1).

Mamy zatem do czynienia z przyporządkowywaniem elementom zbioru A podzbiorów zbioru A => nie mamy do czynienia z funkcją f: A w P(A). Bo z definicji funkcji wynika: przyporządkowanie elementowi jakiegoś zbioru nie jest funkcją.
[Tym bardziej, że dopuszczalne jest w tym „dowodzie” przyporządkowanie jednemu elementowi zbioru więcej niż jednoelementowego, jak np. w moim przykładzie: elementowi 1 przyporządkowano f(1) ={2,3}}

Lub mówiąc inaczej: Cantor chcąc „udowodnić” nie istnienie odwzorowania wzajemnie jednoznacznego A w P(A) zakłada, że takie odwzorowanie nie istnieje.
Oczywiście jako błądzący nie wypowiada on (jak to błądzący) „ja zakładam, że takie odwzorowanie nie istnieje” tylko czyni to niezauważalnie, popełniając błąd, mieszając pojęcia.
Nie zauważając że przyporządkowanie elementowi A jakiegoś podzbioru A nie jest funkcją tak po prostu, z definicji funkcji.
Jeżeli nie jest funkcją => nie jest też odwzorowaniem wzajemnie jednoznacznym (czyli jak to dziś mówią „bijekcją”, ale ja nie lubię dzisiejszych określeń, bo jestem starej daty).

Nie ma więc żadnego „dowodu twierdzenia Cantora”. Cantor niczego nie udowodnił.
Jedynie pomieszał pojęcia. Popełnił proste błędy logiczne- już od początku, patrz kwestia „zbioru zbiorów”, które to pojęcie samo w sobie jest obarczone błędem logicznym.

Jak zatem należy poprawnie patrzeć na kwestię równoliczności?

A tak:

Mamy zbiór A={1,2.3} i mamy „zbiór potęgowy” czyli zbiór P(A) ={p1,p2…p7}, gdzie pn jest jakimś jednym z "podzbiorów" A, ale traktowanym jako tylko element (stąd cudzysłów przy "podzbiorów") zbioru P, a nie jako zbiór.
[tylko do P7- bo „zbiór pusty” jest pojęciem absurdalnym}.

p- musi być traktowane tylko jako element. Ponieważ jeżeli jest rozważane jako „element i zbiór”, to wówczas mamy przyporządkowanie będące przypisaniem elementowi zbioru A jakiegoś z jego podzbiorów, czyli nie mamy do czynienia z funkcją.

Bo funkcja przyporządkowuje element zbioru tylko jednemu elementowi zbioru.
Jeśli zaś elementowi przyporządkowujemy zbiór => takie przyporządkowanie nie jest funkcją.
Tym bardziej jeśli elementowi przyporządkowujemy zbiór wieloelementowy, czyli wiele elementów.

Jeśli traktujemy element zbioru P(A) jako tylko element to po pierwsze: możemy mówić o funkcji. Po drugie: nie możemy rozważać czy element zbioru A należy czy nie należy do elementu zbioru P(A). Ponieważ element nie należy do elementu.
Element zbioru to „coś jednego”, to coś co jest jak punkt. Punkt do punktu należeć nie może.

Dla zbiorów skończonych kwestia równoliczności jest prosta: wystarczy policzyć elementy.
Dla nieskończonych- jest trudniejsza. Nie da się policzyć.
Na pewno jednak nie można w celu udowodnienia (równoliczności/nierównoliczności) dokonywać pomieszania pojęć, nazywając „funkcją” coś co nie jest funkcją.

Cantor niczego zatem nie udowodnił, jak już wcześniej pisałem. A jedynie „udowodnił” poprzez mieszanie pojęć i popełnianie prostych błędów logicznych.

Jeśli dokonuje się pomieszania pojęć => wchodzi się w świat urojeń, np. w świat kantorowski, w świat „alefów” i innych takich bezsensownych rzeczy.

Jeśli nie można dokonać pomieszania pojęć (jakim pomieszaniem jest np. gdy rozważa się „funkcję” w przyporządkowaniu, które z definicji, z istoty funcji nie jest funkcją), lecz operuje się na realnie istniejących i sensownych obiektach, jak np. zbiór R czy N => nie da się udowodnić „nierównoliczności R i N”.

Nawet szarlatanerią logiczną w rodzaju „metody przekątniowej”- nie da się.

Przez trzy dni miałem głowę zaprzątniętą tym „dowodem” twierdzenia Cantora. Zamiast spokojnie wypoczywać na urlopie rozmyślałem nad tym obłąkaniem. Oczywiście nie całymi dniami, ale przy okazji wypoczynku, ale jednak to zepsuło mi wypoczynek.
Od razu, gdy przeczytałem ten „dowód” wiedziałem, że zawiera jakiś błąd logiczny, że jest fałszywy. Ale poznawać, że coś jest fałszywe, nie oznacza jeszcze umieć jasno i prosto wskazać błąd, pokazać fałsz.

Ale modliłem się do Ducha Świętego i do Matki Bożej.
A Matka Najmilsza posłała swego Anioła, aby mnie uderzał po głowie Mieczem Prawdy.
I zobaczyłem błąd tego „dowodu” jasno i wyraźnie i poznałem, po prostu, tak jak poznaje się Prawdę.
{mało się modliłem. Gdybym się modlił więcej, a mniej „samemu rozmyślał", to miałbym szybciej podane! Wprost do rozumu.}

Dlatego czuję się zobowiązany wobec Matki Bożej i chcę Jej podziękować.
Ave Maryja !

PS.
Jeszcze raz pozwolę sobie przypomnieć:

Henri Poincaré - “Later generations will regard [set theory] as a disease from which one has recovered.”
Leopold Kronecker “I don’t know what predominates in Cantor’s theory — philosophy or theology – but I am sure that there is no mathematics there.”

Z tych dwóch sławnych matematyków Poincare jest także prorokiem i to prawdziwym!
Przyszłe pokolenia będą uważać „teorię mnogości” (w jej obecnej postaci) za chorobę z której można się wyleczyć.
Najwyższy czas odchwaścić matematykę! (Oraz inne nauki).

Przy okazji: „chodzi mi po głowie” intuicja jak można udowodnić równoliczność R i N. Ale muszę ją jeszcze przetrawić. Udowodnienie takie zamknęłoby wiele rzeczy.

[Tomasz Middle]

@Maciej napisał w Nierównoliczność liczb rzeczywistych i naturalnych:

Ale modliłem się do Ducha Świętego i do Matki Bożej.

Znowu bluźnisz, nie będzie ci ten grzech odpuszczony.
Sam wybrałeś.

[ZJ]

@Maciej napisał w Nierównoliczność liczb rzeczywistych i naturalnych:

Ale modliłem się do Ducha Świętego i do Matki Bożej.
A Matka Najmilsza posłała swego Anioła, aby mnie uderzał po głowie Mieczem Prawdy.
I zobaczyłem błąd tego „dowodu” jasno i wyraźnie i poznałem, po prostu, tak jak poznaje się Prawdę.
{mało się modliłem. Gdybym się modlił więcej, a mniej „samemu rozmyślał", to miałbym szybciej podane! Wprost do rozumu.}
Dlatego czuję się zobowiązany wobec Matki Bożej i chcę Jej podziękować.
Ave Maryja !

Proponuję pisać na temat wątku. To co robisz na urlopie to twoja sprawa.

[M N]

@Maciej napisał w Nierównoliczność liczb rzeczywistych i naturalnych:

A Matka Najmilsza posłała swego Anioła, aby mnie uderzał po głowie Mieczem Prawdy.

I wszystko jasne.

A w temacie kształtu Ziemi ciągle bez zmian:
https://www.youtube.com/watch?v=SrGgxAK9Z5A
https://www.youtube.com/watch?v=EBtx1MDi5tY

oraz ortodroma - wzór na długość odcinka na kuli opisanej biegunowym układem współrzędnych - matematyczny dowód na kulistość Ziemi, używany w praktyce od wieków.

[ZJ]

@Maciej napisał w Nierównoliczność liczb rzeczywistych i naturalnych:

Element zbioru to „coś jednego”, to coś co jest jak punkt. Punkt do punktu należeć nie może.

Ty sobie tworzysz chochoła a potem dzielnie z nim walczysz. Gdzie widziałeś taką definicję elementów zbioru? Przestań zmyślać.

[Fizyk od czapy]

@Maciej napisał w Nierównoliczność liczb rzeczywistych i naturalnych:

“Zbiór zbiorów”, czyli np. tzw „zbiór potęgowy” jest pomysłem wewnętrznie sprzecznym.
Istotą zbioru jest to, że zawiera on elementy. Element zaś jest czymś jednym, jest jak punkt.
Punkt nie zawiera zaś w sobie już niczego. Punkt nie ma części.

Czyli Maciej nie rozumie pojęcia zbioru. Nie, żeby mnie to zaskakiwało, ale jednak miło mieć takie jasne potwierdzenie.

W skrócie: zbiór w matematyce można porównać przez analogię do pudełka, w którym są jakieś rzeczy. Maciej twierdzi, że w pudełku nie można trzymać innych pudełek (zawierających coś lub nie).

@Maciej napisał w Nierównoliczność liczb rzeczywistych i naturalnych:

Jeśli pominąć inny absurdalny twór zwany „zbiorem pustym”

Puste pudełka to absurd.

@Maciej napisał w Nierównoliczność liczb rzeczywistych i naturalnych:

Czyli „zbiór potęgowy zbioru” rozpatrywany jako suma jego elementów (a może tak być rozpatrywany, bo wszak „zawiera zbiory” lub jak to twierdzą „jego elementami są zbiory”) jest tym samym zbiorem!

Pudełko, które zawiera jabłko i gruszkę, oraz pudełko, które zawiera puste pudełko, pudełko zawierające jabłko, pudełko zawierające gruszkę i pudełko zawierające jabłko i gruszkę, to te same pudełka.

@Maciej napisał w Nierównoliczność liczb rzeczywistych i naturalnych:

Tzw. „zbiór pusty” jest pomysłem wewnętrznie sprzecznym.

Polecam zapoznać się z aksjomatami ZFC (albo i nawet tylko ZF) i w jaki sposób wynika z nich istnienie zbioru pustego.

Reszty nie ma co komentować, bo Maciej właśnie udowodnił ponad wszelką wątpliwość, że nie rozumie absolutnych podstaw.

[Highlander]

@Fizyk-od-czapy napisał w Nierównoliczność liczb rzeczywistych i naturalnych:

Reszty nie ma co komentować, bo Maciej właśnie udowodnił ponad wszelką wątpliwość, że nie rozumie absolutnych podstaw.

A może rozumie, ale ich nie akceptuje, bo nie są autoryzowane przez Matkę Boską

[jakubcjusz]

@Fizyk-od-czapy napisał w Nierównoliczność liczb rzeczywistych i naturalnych:

Maciej twierdzi, że w pudełku nie można trzymać innych pudełek (zawierających coś lub nie).

No oczywiście, że nie. Za włożenie pudełek do pudełek od razu byłbyś potępiony! Mam nadzieję, że tego nie zrobiłeś..?

[Maciej]

@Fizyk-od-czapy napisał w Nierównoliczność liczb rzeczywistych i naturalnych:
> Czyli Maciej nie rozumie pojęcia zbioru. Nie, żeby mnie to zaskakiwało, ale jednak miło mieć takie jasne potwierdzenie.

To Ty nie rozumiesz podstawowych pojęć. Przykro mi, to nie moja wina.

Np. nie zauważyłeś (jak zresztą większość matematyków), że tzw. "dowód twierdzenia Cantora" zaczyna się od fałszywego założenia.
" niech f: A w P(A)"- zakłada Cantor.

"niech f to dowolna funkcja zbioru A w jego zbiór potęgowy"- zakłada obłąkaniec.

Otóż (bez względu na to co kto rozumie, a czego nie rozumie), to nawet zakładając istnienie tzw "zbioru potęgowego" jako realnego obiektu takie przyporządkowanie (elementu zbioru A do podzbioru zbioru A) nie jest i nie może być funkcją.

"Dowód" Cantora startuje więc od fałszywego założenia.

Po czym...nic dziwnego... dochodzi do obłędu, do świata paranoi.
["Alefów", "nieskończenie wielu nieskończoności" i innych takich typu "hipoteza continuum"]

@Fizyk-od-czapy napisał w Nierównoliczność liczb rzeczywistych i naturalnych:
> W skrócie: zbiór w matematyce można porównać przez analogię do pudełka, w którym są jakieś rzeczy.

Właśnie nie można.

Pudełko istnieje niezależnie od tego czy w nim coś jest czy nie.
[Jeżeli jest puste => niczego nie zbiera => nie jest zbiorem]

Natomiast zbiór jest określony przez swoje elementy.
Bez elementów nie istnieje (jako zbiór). [Bo niczego nie zbiera]

Np. jabłko.
Jeśli coś spełnia kryterium (test logiczny) "czy jest jabłkiem?"=> należy ("automatycznie") do zbioru jabłek => jest w zbiorze jabłek.
Nie trzeba nawet mówić "zbiór jabłek".
Wystarczy powiedzieć "jabłka".
Jabłka <=> zbiór jabłek.
Zbiór jabłek zbiera wszystkie jabłka, to zbiór, to mnogość jabłek.

Maciej twierdzi, że w pudełku nie można trzymać innych pudełek (zawierających coś lub nie).

Można trzymać, ale wtedy oba naraz nie są zbiorami.
To "wewnętrzne"- nie jest zbiorem, ale elementem zbioru (którym jest większe pudełko).
To "zewnętrzne" jest zbiorem zawierającym "pudełko"

@Fizyk-od-czapy napisał w Nierównoliczność liczb rzeczywistych i naturalnych:

Puste pudełka to absurd.

Absurdem jest traktowanie ich jak zbiory, czyli obiekty zbierające jakąś mnogość (jakieś elementy).

@Fizyk-od-czapy napisał w Nierównoliczność liczb rzeczywistych i naturalnych:

Polecam zapoznać się z aksjomatami ZFC (albo i nawet tylko ZF) i w jaki sposób wynika z nich istnienie zbioru pustego.

"Zbiór pusty" to esencja absurdu.

Jeśli "aksjomaty" wypluwają z siebie absurd => w "aksjomatach" jest fałsz, błąd logiczny.

Przy okazji:
Obłąkańcy twierdzą, że "elementem zbioru potęgowego dowolnego zbioru jest 'zbiór pusty' " oraz, że "zbiór potęgowy to zbiór wszystkich podzbiorów dowolnego zbioru" => np. zbiór jabłek (bo dowolny zbiór) "zawiera w sobie także element pod nazwą 'nic' ".
[Gdyby nie zawierał oprócz jabłek, także i elementu pod nazwą 'nic", to "zbiór pusty" nie mógłby być jego podzbiorem]
Tylko, że zbiór jabłek (z definicji, z samej swej istoty) zawiera jabłka, a nie "jabłka oraz 'nic'".
Bo 'nic"- nie istnieje.
Jeżeli bowiem "coś" istnieje => jest czymś.
Elementarz logiki.

@Fizyk-od-czapy napisał w Nierównoliczność liczb rzeczywistych i naturalnych:

Pudełko, które zawiera jabłko i gruszkę, oraz pudełko, które zawiera puste pudełko, pudełko zawierające jabłko, pudełko zawierające gruszkę i pudełko zawierające jabłko i gruszkę, to te same pudełka.

Pudełko, które niczego nie zawiera => (z samej istoty pojęcia zbioru) nie jest zbiorem.

@Fizyk-od-czapy napisał w Nierównoliczność liczb rzeczywistych i naturalnych:

Reszty nie ma co komentować, bo Maciej właśnie udowodnił ponad wszelką wątpliwość, że nie rozumie absolutnych podstaw.

Niestety to wy.

Nawet nie zauważyliście np. tego, że "dowód" tzw. "twierdzenia Cantora" startuje od fałszu, czyli nazywa "funkcją" przyporządkowanie, które z samej swej istoty (z powodu tego czym jest) nie jest funkcją.
Udaje, że "rozważa funkcję" podczas gdy rozważa przyporządkowanie, które funkcją nie jest i być nie może (z samej swej istoty, z powodu tego czym jest to przyporządkowanie).

Podobnie nie zauważacie, że w tzw. "dowodzie z metody przekątniowej" Cantor rozważą skończoność, a udaje, że "rozważa nieskończoność".

Dajecie się nabierać na błędy obłąkańca.
Przykro mi, że najprostszych rzeczy nie rozumiecie.
Nie moja to wina.

Cierpicie po prostu na obłęd. A jest to Obłęd Wielki, kosmiczno-liczbowy.

Znaczenie każdego słowa w określeniu tego obłędu już tłumaczyłem.

[M N]

@Maciej napisał w Nierównoliczność liczb rzeczywistych i naturalnych:

Cierpicie po prostu na obłęd. A jest to Obłęd Wielki, kosmiczno-liczbowy.

Możesz ta swoją litanię kłamstw powtarzać bez końca, zakłamany głąbie - i tak faktem się nie stanie.
P.S. Czy okładanie anielskim mieczem prawdy twojego pustego, zakłamanego łba pozwoliło co wreszcie zrozumieć, że ortodroma to wzór na długość odcinka na kuli opisanej biegunowym układem współrzędnych, i że jest bosko prosty powód dlaczego od wieków jest używana w nawigacji morskiej i lotniczej?

[Fizyk od czapy]

@Maciej napisał w Nierównoliczność liczb rzeczywistych i naturalnych:

Właśnie nie można.
Pudełko istnieje niezależnie od tego czy w nim coś jest czy nie.
[Jeżeli jest puste => niczego nie zbiera => nie jest zbiorem]
Natomiast zbiór jest określony przez swoje elementy.
Bez elementów nie istnieje (jako zbiór). [Bo niczego nie zbiera]

Pojadę klasykiem: "wymyśliłeś to sobie!".

Pojęcie zbioru jest pojęciem pierwotnym, więc nie ma definicji, ale własności zbiorów (takich, jakie są rozumiane pod tym pojęciem w matematyce) są określone przez aksjomaty ZFC. I z tych aksjomatów jednoznacznie wynika istnienie zbioru pustego.

Jeśli dla Ciebie zbiór pusty nie istnieje, to mówisz o jakimś innym pojęciu zbioru, więc najpierw musisz zdefiniować o czym właściwie mówisz. Ewentualnie po prostu nie rozumiesz o czym mówisz (i skłaniam się ku tej drugiej opcji).

[ZJ]

@Maciej napisał w Nierównoliczność liczb rzeczywistych i naturalnych:

"hipoteza continuum"

To nie jest hipoteza tylko zbiór. Jak już coś cytujesz to rób to dokładnie.

[ZJ]

@Maciej napisał w Nierównoliczność liczb rzeczywistych i naturalnych:

Udaje, że "rozważa funkcję" podczas gdy rozważa przyporządkowanie, które funkcją nie jest i być nie może (z samej swej istoty, z powodu tego czym jest to przyporządkowanie).

Ale funkcja z definicji jest przyporządkowaniem jakiegoś elementu zbioru np X do jakiegoś innego elementu zbioru np Y. Zwykła funkcja pozwala przypisać dla kilku elementów zbioru X jeden element zbioru Y. Cantor to ograniczył tak, że tylko jeden element zbioru X może wskazywać na jeden element zbioru Y. Więc to co rozważa Cantor jest funkcją. Funkcji też nie rozumiesz?
Ty się matematyki uczyłeś w domu z Biblii?

[ZJ]

@Fizyk-od-czapy napisał w Nierównoliczność liczb rzeczywistych i naturalnych:

Pojadę klasykiem: "wymyśliłeś to sobie!".

A właściwie "Teraz to sobie wymyśliłeś! Przyznaj się!!!" Trzy wykrzykniki na znak obłędu, autora oryginału.

Ewentualnie po prostu nie rozumiesz o czym mówisz (i skłaniam się ku tej drugiej opcji).

Mam przekonanie graniczące z pewnością, że nie rozumie też pojęcia liczby i funkcji. Powinien uzupełnić podstawy, by przynajmniej nie negował aksjomatów.

[jakubcjusz]

@ZJ napisał w Nierównoliczność liczb rzeczywistych i naturalnych:

Mam przekonanie graniczące z pewnością, że nie rozumie też pojęcia liczby i funkcji. Powinien uzupełnić podstawy, by przynajmniej nie negował aksjomatów.

Ale po co Maciej miałbym się dokształcać, skoro to grozi zawaleniem jego światopoglądu? Jego psychika jest za słaba, dlatego rękami i nogami będzie się bronił przed czymkolwiek, co mogłoby zaburzyć mu jego wizję świata, gdzie on jest idealny, wszystko wie i wszystko rozumie, a my pójdziemy do piekła.

[Maciej]

@Fizyk-od-czapy napisał w Nierównoliczność liczb rzeczywistych i naturalnych:

Pojadę klasykiem: "wymyśliłeś to sobie!".

Co sobie "wymyśliłem"?
Że zbiór jest określony przez swoje elementy?
Przeczysz temu, że to element (zbioru) określa zbiór?

@Fizyk-od-czapy napisał w Nierównoliczność liczb rzeczywistych i naturalnych:

Pojęcie zbioru jest pojęciem pierwotnym, więc nie ma definicji,

Owszem.
Jeszcze prościej: zbiór to to samo co "mnogość".
"Mnogość" jest pojęciem jasnym, intuicyjnie zrozumiałym, jak liczenie, jak 1,2,3,4...itd.

I nie zmienia to faktu, że mnogość może być mnogością (zbiorem) jabłek, mnogością (zbiorem) liczb naturalnych, mnogością (zbiorem) punktów...itd
Ale nie może być "mnogością niczego", bo to wewnętrzna sprzeczność, obłęd w najczystszej postaci.

Przykro mi, że nie rozumiesz rzeczy najprostszych.
Nie moja to wina.

@Fizyk-od-czapy napisał w Nierównoliczność liczb rzeczywistych i naturalnych:

są określone przez aksjomaty ZFC. I z tych aksjomatów jednoznacznie wynika istnienie zbioru pustego.

Zatem te aksjomaty są fałszywe.
To proste.
Jeśli z A wynika fałsz, jawny absurd, to A jest fałszywe.

Wam (obłąkańcom) pomieszało się w głowach.
Bo uwierzyliście, że "możecie sobie dowolnie definiować i dowolnie rozumieć".

Nie, nie możecie.
Prawda jest obiektywna, czyli JEST po prostu, taka jaka JEST.
Tworzenie nauki polega na odkrywaniu tego jak JEST, a nie na "tworzeniu" w sensie ścisłym, w znaczeniu "kreacji istnienia, powoływania do istnienia" => nie każda definicja jest dobra, istnieją definicje absurdalne, wewnętrznie sprzeczne, niezgodne z tym jak JEST => teorie na nich powstałe nieuchronnie prowadzą do sprzeczności.

[Ale wy sprzeczności nazywacie radośnie "paradoksami".]

Najlepiej widać wasz obłęd w kwestii tzw. "innych geometrii", gdzie radośnie złamaliście oczywistość (aksjomat) Euklidesa.

Zachodzi (na płaszczyźnie):

"Istnieje tylko jedna prosta równoległa do danej prostej przechodząca przez punkt leżący poza daną prostą"- zdanie A.

Jeżeli A jest prawdziwe => ~A jest fałszywe.
A jeżeli ~A jest prawdziwe => A jest fałszywe.
Elementarz logiki.

Nie mogą zatem istnieć "inne geometrie" w obrębie jednej prawdziwej matematyki.

Ale u was (obłąkańców) "mogą".
A dlaczego?
Bo skorumpowaliście pojęcia, sfałszowaliście najbardziej pierwotne i intuicyjnie jasne pojęcia. I zaczęliście nazywać linię krzywą- "prostą".
I tak powstały wam "inne geometrie".

To jest istotą prostej: nie jest krzywa.
Jest intuicyjnie jasne co to znaczy być prostym, a co to znaczy być krzywym.
Prosta- pojęcie pierwotne, niedefiniowalne, intuicyjnie jasne.

Podobna rzecz dzieje się tutaj, w teorii mnogości: fałszujecie i wypaczacie elementarne pojęcia.

Ale mniejsza z tym.

Będzie udowodniona równoliczność R i N. Będzie nawet udowodniona równoliczność dwóch dowolnych zbiorów nieskończonych.

I obłąkańcy będą musieli zresetować swoje myślenie.

Henri Poincaré - “Later generations will regard [set theory] as a disease from which one has recovered.”

Można mu zarzucać różne rzeczy, ale nie to że był złym matematykiem.

Współczesna matematyka jest chora. Największa mnogość urojeń jest we współczesnej "teorii mnogości".

[Maciej]

@ZJ napisał w Nierównoliczność liczb rzeczywistych i naturalnych:

Cantor to ograniczył tak że tylko jeden element zbioru X może wskazywać na jeden element zbioru Y. Więc to co rozważa Cantor jest funkcją. Funkcji też nie rozumiesz?

Przykro mi, że jesteś obłąkańcem.
Nie moja to wina.
Mimo, że pokazywałem obrazki, to do Ciebie jednak nie dotarło.
Naprawdę nie moja to wina.

Jeszcze raz na obrazkach:

Przyporządkowanie elementowi zbioru A jego podzbioru jest tym właśnie:

Czyli:

To jest jedno i to samo przyporządkowanie.

To, że Ty nazywasz sobie podzbiór zbioru A "elementem (urojonego) zbioru potęgowego" => to sobie nazywasz.
Ale to nie zmienia istoty rzeczy, istoty przyporządkowania, istoty tego co się dzieje.
Rzecz (tu przyporządkowanie) jest tym czym jest, niezależnie jak Ty sobie nazywasz.

Jeśli na obrazkach nie widzisz, że to jest jedno i to samo, to może "na słowach zobaczysz"?

Zachodzi:
Przyporządkować elementowi zbioru A podzbiór zbioru A (przyporządkowanie P1) => przyporządkować elementowi zbioru A "element zbioru potęgowego zbioru A" (przyporządkowanie P2)
Negujesz implikację?
oraz zachodzi:
Przyporządkować elementowi zbioru A "element zbioru potęgowego zbioru A" (P2) => przyporządkować elementowi zbioru A podzbiór zbioru A (P1)

[Cudzysłów przy obiektach czysto urojonych]

Zatem:

P2 <=> P1.
Równoważnośc.

Co do istoty P2 i P1 to jest to samo (bo jest równoważne)

Nie może więc "P2 być funkcją (tak), a P1 nie być funkcją".
Bo A nie jest równoważne ~A.
Albowiem "tak" nie jest równoważne z "nie".
Lecz zachodzi: tak tak; nie nie.

Oczywistość, elementarz logiki.

X jest tożsame z X.
Pewnik tożsamości.
Negujesz pewnik tożsamości?
Twierdzisz, że "X nie jest X"?

Wam rozdwoiło się w głowach.
Dlaczego się wam rozdwoiło?

1. Bo nie myślicie logicznie, popełniacie proste błędy logiczne- przy najprostszych pojęciach.
2. Bo narysowaliście sobie (urojony) "zbiór potęgowy" i odpowiednie przyporządkowanie poza zbiorem A (poprowadziliście strzałkę poza zbiór A), więc myślicie, że "to coś innego".
3. W skrócie: bo cierpicie na Obłęd Wielki, kosmiczno-liczbowy.

[ZJ]

@Maciej napisał w Nierównoliczność liczb rzeczywistych i naturalnych:

Jeszcze prościej: zbiór to to samo co "mnogość".
"Mnogość" jest pojęciem jasnym, intuicyjnie zrozumiałym, jak liczenie, jak 1,2,3,4...itd.

A to skąd wziąłeś? Mnogość? A dlaczego nie Legion?

@Maciej napisał w Nierównoliczność liczb rzeczywistych i naturalnych:

Przyporządkowanie elementowi zbioru A jego podzbioru jest tym właśnie:

Tak.

@Maciej napisał w Nierównoliczność liczb rzeczywistych i naturalnych:

Czyli:

Nie. {2, 3} to jeden element a A(2) i A(3) to dwa elementy
Tak jak pisałem wyżej. Funkcji też nie rozumiesz.

@Maciej napisał w Nierównoliczność liczb rzeczywistych i naturalnych:

Prawda jest obiektywna, czyli JEST po prostu, taka jaka JEST.

No właśnie, więc nie zmyślaj.

@Maciej napisał w Nierównoliczność liczb rzeczywistych i naturalnych:

Najlepiej widać wasz obłęd w kwestii tzw. "innych geometrii", gdzie radośnie złamaliście oczywistość (aksjomat) Euklidesa.

Znowu piszesz o jakimś złamaniu "oczywistości" gdy piąty postulat, nie był wcale taki oczywisty i to wg Euklidesa nie był aksjomat. Bredzisz po prostu, bo zamiast dowiedzieć się czegoś w temacie w którym się wypowiadasz. To się zachowujesz jak pierwszy z brzegu kretyn i leń.

Czyli podsumowując, nie znasz:

1. definicji liczby
2. zbiorów
3. funkcji
4. geometria to tylko Euklidesa. Ale tylko wydaje Ci się, że ją rozumiesz skoro nie znasz pojęcia funkcji
5. tu możesz napisać czego jeszcze nie wiesz.

Albo napisz co wiesz. Będzie krócej.

[ZJ]

@Maciej napisał w Nierównoliczność liczb rzeczywistych i naturalnych:

Nie może więc "P2 być funkcją (tak), a P1 nie być funkcją".
Bo A nie jest równoważne ~A.
Albowiem "tak" nie jest równoważne z "nie".
Lecz zachodzi: tak tak; nie nie.
Oczywistość, elementarz logiki.
X jest tożsame z X.
Pewnik tożsamości.
Negujesz pewnik tożsamości?
Twierdzisz, że "X nie jest X"?

Tak jak pisałem wyżej, nie rozumiesz funkcji i zbiorów więc tworzysz chochoła i dzielnie z nim walczysz. Dochodząc do wniosków które mają sens, tyle że "skoro wnioski na podstawie założeń są fałszywe, to założenia są fałszywe" no i są!
To co napisałeś to nie jest funkcja, a już na pewno nie wg Cantora.